MÁS PROBLEMAS PARA BACHILLERATO
Un conjunto de 10 números tiene una media aritmética de 20. Si la media de los 6 primeros números es 18, ¿cuál es la media de los otros 4?
23/11/2009 13:50:57
Los vértices de un triángulo rectángulos están sobre una circunferencia de radio R, y los lados del triángulo son tangentes a otro círculo de radio r. Si las longitudes de los catetos del triángulo son de 16 y 30 unidades, determina el valor de R+r.
07/11/2008 12:39:55
Otras función sobre los naturales
La función g se define sobre los números naturales y satisface las condiciones:
¿ g(2) = 1
¿ g(2n) = g(n)
¿ g(2n + 1) = g(2n) + 1
Sea n un número natural tal que 1 ≤ n ≤ 2002. Calcula el valor máximo M de g(n). Calcula también cuántos valores de n satisfacen g(n) = M.
26/05/2008 11:52:50
En Port Aventura hay 16 agentes secretos. Cada uno de ellos vigila a algunos de sus colegas. Se sabe que si el agente A vigila al agente B, entonces B no vigila a A. Además, 10 agentes cualesquiera pueden ser numerados de forma que el primero vigila al segundo, éste vigila al tercero,....., el último (décimo) vigila al primero.
Demostrar que también se pueden numerar de este modo 11 agentes cualesquiera.
26/05/2008 11:43:48
Se consideran las funciones reales de variable real f(x)de la forma: f(x) = ax + b, siendo a y b números reales.
¿Para qué valores de a y b se verifica f2000(x) = x para todo número real x?
[Nota: Se define f2(x) = f(f(x)), f3(x) = f(f(f(x))), y en general,
fn(x) = f(fn-1(x)) = f(f(...f(x))...)) n veces]
20/05/2008 14:16:22
Los números reales no nulos a y b verifican la igualdad
20/05/2008 14:12:46
Encuentra el mayor número entero N que cumpla las siguientes condiciones:
a) La parte entera de N/3 tiene sus tres cifras iguales.
b) La parte entera de N/3 es suma de números naturales consecutivos comenzando en 1, es decir, existe un natural n tal que la parte entera de N/3 = 1 + 2 +....+ (n-1) + n.
15/05/2008 11:09:35
Probar que para cualquier primo p distinto de 2 y 5 existe un múltiplo de p cuyas cifras son todas nueves. Por ejemplo si p = 13, 999999 = 13¿76923
15/05/2008 10:59:29
Dado el triángulo aritmético de la izquierda, donde cada número es la suma de los dos que tiene encima (cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Razonar que el último número es múltiplo de 1993.
09/05/2008 11:16:14
En el sótano del castillo, 7 gnomos guardan su tesoro. El tesoro está detrás de 12 puertas, cada una de ellas con 12 cerraduras. Todas las cerraduras son distintas. Cada gnomo tiene llaves para algunas de las cerraduras. Tres gnomos cualesquiera tienen conjuntamente llaves para todas las cerraduras. Probar que entre todos los gnomos tienen por lo menos 336 llaves.
09/05/2008 11:04:13
¿Cuántas ternas ordenadas de números naturales (a, b, c) distintos de la unidad hay tales que a.b.c = 739 ?
03/05/2008 19:36:27
Discutir la existencia de soluciones de la ecuación
según los valores del parámetro real p, y resolverla siempre que sea posible.
03/05/2008 19:35:10
Se consideran 2002 segmentos en el plano tales que la suma de sus longitudes es la unidad. Probar que existe una recta r tal que la suma de las longitudes de las proyecciones de los 2002 segmentos dados sobre r es menor que 2/3.
23/04/2008 11:40:25
Sea p un número primo. Determinar todos los enteros k tales que (k2-kp)1/2 es natural.
23/04/2008 11:30:30
Encuentro casual
La figura muestra un plano con calles que delimitan 12 manzanas cuadradas. Una persona P va desde A hasta B y otra Q desde B hasta A.
Ambas parten a la vez siguiendo caminos de longitud mínima con la misma velocidad constante.
En cada punto con dos posibles direcciones a tomar, ambas tienen la misma probabilidad.
Halla la probabilidad de que se crucen.
12/04/2008 23:02:20
La figura muestra un plano con calles que delimitan 12 manzanas cuadradas. Una persona P va desde A hasta B y otra Q desde B hasta A.
Ambas parten a la vez siguiendo caminos de longitud mínima con la misma velocidad constante.
En cada punto con dos posibles direcciones a tomar, ambas tienen la misma probabilidad.
Halla la probabilidad de que se crucen.
12/04/2008 23:02:13
Un polígono convexo de n lados se descompone en m triángulos, con los interiores disjuntos, de modo que cada lado de esos m triángulos lo es también de otro triángulo contíguo o del polígono dado. Probar que m + n es par. Conocidos n y m hallar el número de lados distintos que quedan en el interior del polígono y el número de vértices distintos que quedan en ese interior.
12/04/2008 22:59:07
Se representa por Z el conjunto de todos los enteros. Hallar todas las funciones f:Z->Z tales que para cualesquiera x, y enteros se verifica:
06/04/2008 19:45:25
Se consideran conjuntos A de cien números naturales distintos, que tengan la propiedad de que si a, b y c son elementos cualesquiera de A (iguales o distintos), existe un triángulo no obtusángulo cuyos lados miden a, b y c unidades.
Se denomina S(A) a la suma de los perímetros considerados en la definición de A. Calcula el valor mínimo de S(A).
06/04/2008 19:29:48
Se consideran las parábolas
12/03/2008 12:24:16